นับเป็นครั้งแรกในประวัติศาสตร์ที่โมเดล AI สามารถแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของมนุษยชาติได้
สมการ Navier-Stokes และ Millennium Prize Problem คืออะไร
มนุษยชาติรู้จักกับสมการ Navier-Stokes มามากกว่า 200 ปีแล้ว วิศวกรชาวฝรั่งเศส โกลด-หลุยส์ นาวีเย (Claude-Louis Navier) ได้เพิ่มปัจจัยด้านความหนืดเข้าไปในสมการของไหลของออย์เลอร์ (Euler) ซึ่งเดิมทีใช้อธิบายของไหลในอุดมคติ ปราศจากความหนืดและแรงเสียดทาน และต่อมานักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชาวไอริช จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ (George Gabriel Stokes) ได้ปรับปรุงสมการนี้ให้สมบูรณ์และใช้งานได้จริงผ่านการศึกษาว่าแรงเสียดทานภายในของไหลส่งผลต่อการไหลอย่างไร จึงเป็นที่มาของชื่อสมการ Navier-Stokes
สมการ Navier-Stokes มีพื้นฐานจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equation) ที่แปรผันตามเวลาและตำแหน่ง เช่น ความเร็วลมที่จุดต่าง ๆ ในห้อง ณ เวลาต่าง ๆ นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรได้นำมาใช้คำนวณการไหลของของไหลในงานต่าง ๆ มากมาย ไม่ว่าจะเป็นการไหลของอากาศใต้ปีกเครื่องบิน การไหลของน้ำมันภายในถังน้ำมันเครื่องบิน เป็นต้น
ด้วยรูปแบบของสมการที่มีค่าความปั่นป่วนทางฟิสิกส์รวมอยู่ภายใน จึงทำให้เกิดคำถามในหมู่นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ขึ้นมาว่า สมการที่ใช้เป็นเครื่องมือนี้มีจุดอ่อนอะไรหรือไม่ ที่จะทำให้สมการไม่สามารถใช้งานได้เมื่อมีกระบวนการคิดไปแล้วสักพักหนึ่ง ซึ่งเป็นที่มาของโจทย์ปัญหา Millennium Prize Problem
Millennium Prize Problem คืออะไร
Millennium Prize Problems คือชุดโจทย์คณิตศาสตร์สำคัญเจ็ดข้อที่สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ประกาศขึ้นใน ค.ศ. 2000 แต่ละข้อมีเงินรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐสำหรับผู้ที่พิสูจน์คำตอบได้อย่างถูกต้องและได้รับการยอมรับจากแวดวงคณิตศาสตร์ ทั้งนี้ ทางสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ไม่ได้กำหนดเส้นตายในการแก้โจทย์เอาไว้ แต่ในหมู่นักวิชาการคาดว่าจะสามารถพิชิตปัญหาได้ภายในสิ้นศตวรรษนี้
โจทย์ Navier-Stokes ในรายการนี้ไม่ได้ถามว่าสมการนี้นำไปใช้งานได้จริงหรือไม่ เพราะเราใช้สมการนี้จำลองการไหลของน้ำ อากาศ และก๊าซมาอย่างยาวนานแล้ว แต่คำถามคือ ในทางคณิตศาสตร์ สำหรับของไหลอัดตัวไม่ได้ (incompressible) ที่มีความหนืดคงที่และไหลอยู่ในปริภูมิสามมิติ สมการนี้จะให้คำตอบที่มีอยู่จริงและคงความราบเรียบไปได้ตลอดกาลหรือไม่
คำว่า “ราบเรียบ” (smooth) ในฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มีเงื่อนไขที่รัดกุมและจำเพาะเจาะจงกว่าคำว่า “ต่อเนื่อง” (continuous) มาก เพราะหมายถึงฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ ไม่มีจุดหักมุม ไม่มีรอยขาด
กล่าวให้ง่ายขึ้น นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบว่า หากเราเริ่มต้นจากสภาวะของของไหลที่เรียบและมีพลังงานจำกัด เช่น กำหนดความเร็วของน้ำหรืออากาศไว้ในทุกจุดอย่างราบรื่น เมื่อเวลาผ่านไป ความเร็ว ความดัน และการหมุนวนของของไหลจะยังคงมีค่าจำกัดและอธิบายได้ด้วยสมการเดิมเสมอต่อไปหรือไม่ หรือสามารถก่อตัวเป็นจุดผิดปกติที่ค่าบางอย่างพุ่งสู่อนันต์ภายในเวลาจำกัดได้
จุดผิดปกติลักษณะนี้เรียกว่าภาวะเอกฐาน (singularity) หรือการระเบิดของคำตอบ (blow-up) ซึ่งไม่ได้หมายความว่าน้ำหรืออากาศระเบิดจริงในโลกกายภาพ แต่หมายถึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถรักษาคำตอบราบเรียบในรูปเดิมไว้ได้อีกต่อไป
แล้วทำไมเราใช้ Navier-Stokes ได้ ทั้งที่ยังแก้โจทย์ไม่ได้
ในงานจริง นักวิทยาศาสตร์และวิศวกรไม่ได้จำเป็นต้องหาคำตอบแบบสูตรปิดที่ถูกต้องสมบูรณ์สำหรับทุกสถานการณ์ แต่กลับใช้คอมพิวเตอร์แบ่งพื้นที่และเวลาออกเป็นส่วนเล็ก ๆ แล้วคำนวณหาคำตอบโดยประมาณ กระบวนการนี้เป็นพื้นฐานของงานจำลองการไหล เชิงคำนวณ หรือ computational fluid dynamics (CFD) เช่น การออกแบบปีกเครื่องบินอาจใช้ Navier-Stokes เพื่อคาดการณ์แรงยกและแรงต้านอากาศ การออกแบบเครื่องยนต์ใช้คำนวณการไหลของเชื้อเพลิงและก๊าซร้อน หรืองานอุตุนิยมวิทยาใช้ในการจำลองอากาศเพื่อศึกษากระแสลม เมฆ และพายุ
ปัญหาคือ เมื่อการไหลมีความซับซ้อนสูง โดยเฉพาะการไหลแบบปั่นป่วน (turbulence) ที่เต็มไปด้วยกระแสวนขนาดต่าง ๆ การคำนวณทุกรายละเอียดอย่างตรงไปตรงมาจะใช้ทรัพยากรสูงมาก จึงมักต้องอาศัยการประมาณและแบบจำลองเสริม นี่คือสาเหตุว่าถึงความสำคัญของโจทย์ปัญหาด้านภาวะเอกฐานของสมการ
แล้ว OpenAI อ้างว่าแก้อะไรได้
ตามหน้าประกาศของ OpenAI ระบบภายในของบริษัทสร้างข้อพิสูจน์ที่เสนอว่า สมการ Navier-Stokes ในกรณีที่โจทย์กำหนดสามารถพัฒนาไปสู่ภาวะเอกฐานภายในเวลาจำกัดได้ นั่นเท่ากับเลือกตอบคำถามแห่งสหัสวรรษว่ามิได้ราบเรียบเสมอไป โดยที่ทางบริษัทใช้ AI โมเดลใหม่สุด GPT-6 Astra เป็นเครื่องมือในการแก้โจทย์นี้
วิธีการที่โมเดล GPT-6 Astra ทำขึ้นมาในการแก้โจทย์ ไม่ได้เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ที่นำมาใช้คำนวณได้อย่างสมบูรณ์ (exact solution) ที่นำไปเข้าแบบจำลอง CFD ได้โดยตรง แต่เป็นการสร้างผลเฉลยที่พุ่งสู่ค่าอนันต์ในเวลาที่กำหนด (finite-time blow-up solution) จนนำไปสู่ภาวะเอกฐานภายใต้เงื่อนไขบางประการ
OpenAI ระบุว่าได้ใช้ระบบเอเจนต์ AI (agentic AI) จำนวนมากทำงานร่วมกัน เอเจนต์แต่ละตัวช่วยกันเสนอแนวคิด ตรวจสอบสมมติฐาน ค้นหาจุดผิดพลาด และพัฒนาข้อพิสูจน์ต่อจากงานของเอเจนต์ตัวอื่น กระบวนการแก้โจทย์ Navier-Stokes ใช้การสื่อสารประมาณ 2.7 ล้านข้อความ และสร้างผลลัพธ์รวมประมาณหนึ่งแสนสามหมื่นล้านโทเคน
ระบบเอเจนต์ใช้เวลาประมาณ 88 ชั่วโมงในการสร้างแนวทางแก้ปัญหาและข้อพิสูจน์เชิงวิเคราะห์ หลังจากนั้น GPT-6 Astra ใช้เวลาเพิ่มเติมประมาณ 17 ชั่วโมงในการแปลงข้อพิสูจน์เป็นภาษาลีน (Lean) และตรวจสอบว่าขั้นตอนทางตรรกะสอดคล้องกัน
ลีนคือภาษาคอมพิวเตอร์ที่ออกแบบมาเพื่อตรวจสอบตรรกะและการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะไม่ได้ทำหน้าทดลองการไหลของของไหลหรือค้นพบภาวะเอกฐานด้วยตัวเอง ก่อนอื่นจะต้องระบุนิยาม สมมติฐาน และเหตุผลแต่ละขั้นในรูปแบบที่คอมพิวเตอร์อ่านได้ จากนั้นลีนจะตรวจว่าข้อสรุปแต่ละส่วนอนุมานจากสิ่งที่ระบุไว้ก่อนหน้าได้จริงหรือไม่
ดังนั้น การแก้โจทย์ในครั้งนี้ไม่ได้เป็นเพียงแค่ AI เสนอคำตอบในการแก้โจทย์เพียงอย่างเดียว แต่รวมถึงการวางแผนและทำให้ข้อพิสูจน์จำนวนมากสามารถตรวจสอบด้วยเครื่องมือได้อย่างเป็นระบบ
เท่ากับแก้โจทย์สำเร็จหรือยัง
การที่ลีนยอมรับข้อพิสูจน์ เป็นหลักฐานสำคัญว่าขั้นตอนทางตรรกะภายในระบบไม่มีช่องโหว่ที่ตรวจพบได้ แต่ยังไม่ได้รับประกันทุกอย่างโดยอัตโนมัติ ยังมีอีกมากที่รอการตรวจสอบโดยผู้เชี่ยวชาญ เช่น สิ่งที่ OpenAI เสนอมานั้นตรงกับโจทย์แห่งสหัสวรรษฉบับทางการหรือไม่ การแปลงข้อพิสูจน์จากคณิตศาสตร์ปกติไปเป็นลีน ครบถ้วนหรือไม่ สมมติฐานและแรงภายนอกที่ใช้ เป็นไปตามเงื่อนไขของโจทย์หรือไม่ และข้อพิสูจน์ได้แสดงการเกิดภาวะเอกฐานตามความหมายที่โจทย์กำหนดจริงหรือไม่
หากกระบวนการทั้งหมดผ่านการรับรอง ผลงานนี้อาจแสดงให้เห็นว่า AI อาจเป็นมากกว่าเครื่องมือช่วยเพิ่มประสิทธิภาพ แต่สามารถกลายเป็นผู้ร่วมวิจัยที่ช่วยสำรวจพื้นที่ความคิดซึ่งใหญ่เกินกว่าที่มนุษย์กลุ่มเล็ก ๆ จะตรวจสอบได้ทั้งหมด AI อาจช่วยค้นหารูปแบบ เสนอสมมติฐาน สร้างตัวอย่างโต้แย้ง และจัดทำข้อพิสูจน์เบื้องต้น ขณะที่มนุษย์ยังมีบทบาทสำคัญในการกำหนดคำถาม ประเมินความหมาย ตรวจสอบสมมติฐาน และเชื่อมโยงผลลัพธ์เข้ากับองค์ความรู้ที่มีอยู่
ดังนั้น สิ่งที่น่าจับตาต่อจากนี้จึงไม่ใช่เพียงว่า AI สามารถแก้โจทย์ยาก ๆ ได้อีกกี่ข้อ แต่เป็นว่า คำตอบเหล่านั้นถูกต้อง โปร่งใส และสร้างความเข้าใจใหม่ได้มากเพียงใด นอกจากนี้คำถามสำคัญคือ AI สามารถผลิตผลงานที่มนุษย์ตรวจสอบ อธิบาย สอน และนำไปต่อยอดเป็นองค์ความรู้ชุดใหม่ได้หรือไม่ เพราะคุณค่าที่แท้จริงของการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ไม่ได้อยู่แค่การได้คำตอบสุดท้าย แต่อยู่ที่การทำให้เราเข้าใจว่าเหตุใดคำตอบนั้นจึงเป็นจริง และเปิดประตูไปสู่คำถามใหม่อะไรบ้าง
เรียบเรียงโดย จิรสิน อัศวกุล
พิสูจน์อักษร ศุภกิจ พัฒนพิฑูรย์
อัปเดตข้อมูลแวดวงวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี รู้ทันโลกไอที และโซเชียลฯ ในรูปแบบ Audio จาก AI เสียงผู้ประกาศของไทยพีบีเอส ได้ที่ Thai PBS
ที่มาข้อมูล : openai
“รอบรู้ ดูกระแส ก้าวทันโลก” ไปกับ Thai PBS Sci & Tech
